Rumus Barisan Aritmetika dan Geometri

Jenis barisan dibedakan menjadi dua yaitu barisan bilangan aritmetika dan geometri. Dua jenis barisan bilangan ini memiliki ciri-ciri dan rumus yang berbeda. Sebelum mempelajari lebih lanjut tentang rumus barisan aritmetika dan geometri, sebaiknya kita mengenal perbedaan dari kedua jenis barisan ini terlebih dahulu. Pada barisan aritmetika, susunan bilangan yang dibentuk antara satu bilangan ke bilangan berikutnya memiliki beda yang sama. Beda dapat diartikan sebagai selisih antara dua suku yang berurutan. Jika suatu barisan memiliki beda lebih dari nol (b > 0) maka barisan aritmetika tersebut merupakan barisan naik. Sebaliknya, jika bedanya kurang dari nol (b < 0) maka barisan aritmetika tersebut merupakan barisan turun. Sedangkan pada barisan geometri, susunan bilangan yang dibentuk antara satu bilangan ke bilangan berikutnya memiliki rasio yang sama. Rasio adalah perbandingan antara dua suku berurutan pada barisan geometri. Jika rasio lebih dari nol (r > 0) maka barisan tersebut merupakan barisan naik. Jika rasio kurang dari nol (r < 0) maka barisan tersebut merupakan barisan turun. Simak penjelasan lebih lanjut pada pembahasan di bawah.

Rumus pada Barisan dan Deret Aritmetika

Barisan aritmetika dapat diartikan sebagai susunan bilangan real yang membentuk pola tertentu. Sedangkan deret aritmetika merupakan penjumlahan dari barisan aritmetika. Ciri umum dari barisan aritmetika adalah memiliki beda yang sama dari satu bilangan ke bilangan berikutnya. Misalkan suku pertama dan suku ke dua dari suatu barisan aritmetika memiliki beda 8, suku-suku berikutnya juga akan memiliki beda 8. Salah satu contoh barisan aritmetika adalah sebagai berikut.

Barisan di atas memiliki nilai beda sama dengan 8 (b = 8). Selanjutnya akan dibahas lebih jauh lagi tentang rumus dan karakter barisan dan deret aritmetika. Rumus barisan aritmetika yang akan dibahas pada halaman ini meliputi cara menentukan suku ke – n, suku tengah, jumlah n suku pertama, dan dilengkapi dengan teknik penggunaan rumus untuk menyelesaikan soal high order thinking. Oke, mari simak pembahasan lebih lanjut mengenai rumus pada barisan dan deret aritmetika.

Barisan Aritmetika

Perhatikan bentuk umum barisan aritmetika pada gambar di bawah.

Barisan aritmetika adalah barisan bilangan dengan selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Selisih antara dua suku yang berurutan pada barisan aritmetika disebut beda

. Rumus untuk menentukan beda pada suatu barisan aritmetika dinyatakan dalam persamaan di bawah.

Suku ke – n suatu barisan aritmetika dapat ditentukan melalui sebuah rumus. Rumus suku ke-n suatu barisan aritmetika dinyatakan dalam rumus berikut.

Keterangan:

: suku pertama

: beda

: suku ke-n

: bilangan bulat

Contoh soal menentukan suku ke-n suatu barisan aritmetika.

Diketahui barisan aritmetika:

Tentukan Suku ke-12!

Pembahasan:

Berdasarkan deret aritmetika pada soal dapat diketahui bahwa

Maka nilai suku ke-12 adalah

Selain itu, terdapat rumus yang dapat digunakan untuk menentukan suku tengah dari suatu barisan aritmetika. Rumus suku tengah dari suatu barisan aritmetika dengan

suku adalah sebagai berikut.

Keterangan:

: suku pertama

: suku tengah

: suku ke-n

: bilangan bulat

Contoh soal menentukan suku tengah suatu barisan aritmetika.

Diketahui barisan aritmetika:

Tentukan suku tengahnya!

Berdasarkan barisan pada soal dapat diketahui bahwa,

Maka nilai suku tengahnya adalah

Deret Aritmetika

Barisan aritmetika menyatakan susunan bilangan berurutan

dengan urutan tertentu. Sedangkan pada deret aritmetika, topik pembahasannya adalah mengenai jumlah suku-suku berurutan tersebut. Bentuk umum deret aritmetika adalah

dengan

merupakan barisan aritmetika.

Kumpulan rumus deret aritmatika dapat dilihat pada persamaan di bawah.

Contoh soal menentukan jumlah n suku pertama pada barisan aritmetika.

Tentukan jumlah deret aritmetika 3 + 5 + 7 + … + 21!

Pembahasan:

Berdasarkan deret tersebut dapat diperoleh informasi bahwa:

Mencari nilai n:

Mencari jumlah n = 10 suku pertama dari deret aritmetika yang diberikan pada soal.

Jadi jumlah 10 suku pertama dari deret aritmetika 3 + 5 + 7 + … + 21 adalah 120.

Rumus pada Barisan Geometri dan Deret Geometri

Materi terkait rumus barisan aritmetika dan geometri selanjutnya yang akan dibahas adalah rumus pada barisan dan deret geometri. Seperti penjelasan singkat sebelumnya, barisan geometri merupakan susunan bilangan yang memiliki nilai rasio sama antara satu bilangan dengan bilangan berikutnya. Barisan geometri terbagi menjadi dua yaitu barisan geometri turun dan barisan geometri naik. Sebuah barisan geometri dikatakan sebagai barisan geometri naik jika memiliki nilai rasio lebih dari satu (r > 1). Sedangkan barisan geometri turun dibentuk oleh nilai rasio antara nol dan satu (0 < r < 1). Bentuk umum barisan geometri dapat dilihat pada gambar di bawah.

Rumus Barisan Geometri

Suatu barisan

disebut barisan geometri jika memiliki nilai rasio yang sama antar dua suku yang berurutan. Nilai rasio dapat diperoleh dari perbandingan dua suku yang berurutan. Cara menentukan rasio dari suatu barisan geometri dapat dilihat dari persamaan di bawah.

Dalam barisan geometri terdapat rumus yang digunakan untuk menentukan nilai dari suatu suku ke – n. Rumus tersebut dinyatakan dalam persamaan di bawah.

Keterangan:

= suku ke – n

= suku pertama

= rasio

= bilangan bulat

Contoh soal dan pembahasan menentukan suku ke-n dari suatu barisan geometri.

Tentukan suku ke – 6 dari barisan geometri berikut!

Pembahasan:

Berdasarkan barisan bilangan pada soal dapat diperoleh informasi bahwa:

Suku ke – b dari barisan geometri tersebut adalah

Rumus lain yang tidak kalah penting untuk diketahui adalah rumus menentukan suku tengah dari barisan geometri. Rumus tersebut dapat dilihat berdasarkan persamaan di bawah.

Keterangan:

= suku tengah

= suku pertama

= suku ke – n

Contoh soal dan pembahasan menentukan suku tengah dari suatu barisan geomteri.

Tentukan nilai suku tengah dari barisan geometri di bawah!

Pembahsan:

Mencari nilai n:

Mencari nilai suku tengah:

Jadi, suku tengah dari barisan geometri 512, 256, 128, …, 2 adalah 32.

Sobat idschool dapat melewatkan langkah mencari nilia n, karena langkah ini tidak bergitu penting dalam menentukan suku tengah. Sobat idschool dapat langsung menuju langkah menghitung nilai suku tengah dengan menggunakan rumus

Rumus Deret Geometri

Selanjutnya adalah pembahasan mengenai rumus deret geometri. Deret geometri menyatakan penjumlahan dari suku-suku yang menyusun suatu barisan geometri. Bentuk umum deret geometri dinyatakan sebagai berikut.

Di mana susunan barisan

membentuk barisan bilangan geometri. Untuk menyatakan jumlah n suku dari suatu barisan geometri dapat menggunakan rumus berikut.

Keterangan:

= jumlah n suku pertama dari barisan geometri

= suku pertama

= rasio

Contoh soal dan pembahasan mengenai jumlah n suku pertama barisan geometri.

Tentuka jumlah 8 suku pertama dari deret geometri berikut!

Pembahasan:

Berdasarkan keterangan pada soal dapat diketahui bahwa

Menghitung 8 suku pertama dari deret geometri yang diberikan pada soal.

Deret Geometri Tak Berhingga

Deret geometri tak berhingga dibedakan menjadi dua jenis, yaitu deret konvergen dan divergen. Deret konvergen adalah sebuah deret yang nilainya menuju suatu titik atau nilai tertentu. Ciri khas dari deret konvergen adalah mempunyai nilai rasio kurang dari 1 (r < 1). Sedangkan deret divergen adalah sebuah deret yang nilanya tidak pernah menuju suatu titik atau bilangan tertentu. Ciri khusus deret konvergen adalah mempunyai nilai rasio lebih dari 1 ( r > 1 ). Rumus deret geometri tak berhingga dinyatakan dalam persamaan di bawah.